Euklidischer Raum

Dieser Text beschreibt Euklidischer Raum.

Ein euklidischer Raum ist in der Mathematik ein Raum, fĂŒr welchen die Gesetze der euklidischen Geometrie gelten. Euklidische RĂ€ume existieren in beliebigen Dimensionen n. Ein zweidimensionaler euklidischer Raum heißt auch euklidische Ebene.

Algebraisch lĂ€sst sich ein euklidischer Raum in beliebigen Dimensionen n (n > 0) durch das n-fache kartesische Produkt der reellen Zahlenmenge R beschreiben. Er wird dann als Rⁿ oder auch Eⁿ genannt. Durch koordinatenweise Addition und Multiplikation mit Skalaren wird er zu einem reellen Vektorraum, auf dem fĂŒr zwei beliebige Punkte x = (x₁, ..., x_n) und y=(y₁, ...,y_n) ein Skalarprodukt definiert werden kann, indem die Koordinaten paarweise multipliziert und die entstehenden Produkte aufaddiert werden. In drei Dimensionen ergibt sich so zu dem Beispiel:

Das Skalarprodukt ermöglicht die algebraische Definition von AbstĂ€nden und Winkeln. Dazu wird zunĂ€chst fĂŒr jeden Punkt x eine Norm genannte LĂ€nge festgelegt, die durch die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selber definiert ist. Wiederum in drei Dimensionen ergibt sich zu dem Beispiel:

Der Abstand zweier Punkte x und y ergibt sich nun durch die euklidische Metrik d(x,y) (Euklidischer Abstand), die sich als Norm der Differenz x-y errechnet. Als Beispiel in drei Dimensionen gilt dann:

Winkel zwischen zwei Vektoren x und y werden durch die Kosinus-Funktion festgelegt und zwar definiert sich der Kosinus des Winkels als Quotient aus dem Skalarprodukt von x,y und dem Produkt ihrer Normen: